14.3: Mathematical Identities
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
→A=ˆxAx+ˆyAy+ˆzAz→A∙→B=AxBx+AyBy+AzBz=ˆa׈b|→A||→B|cosθ→A×→B=det|ˆxˆyˆzAxAyAzBxByBz|=ˆx(AyBz−AzBy)+ˆy(AzBx−AxBz)+ˆ2(AxBy−AyBx)=ˆa׈b|→A||→B|sinθ→A∙(→B×→C)=→B∙(→C×→A)=→C∙(→A×→B)→A×(→B×→C)=(→A∙→C)→B−(→A∙→B)→C(→A×→B)∙(→C×→D)=(→A∙→C)(→B∙→D)−(→A∙→D)(→B∙→C)∇×∇Ψ=0∇∙(∇×→A)=0∇×(∇×→A)=∇(∇∙→A)−∇2→A−→A×(∇×→A)=(→A∙∇)→A−12∇(→A∙→A)∇(ΨΦ)=Ψ∇Φ+Φ∇Ψ∇∙(Ψ→A)=→A∙∇Ψ+Ψ∇∙→A∇×(Ψ→A)=∇Ψ×→A+Ψ∇×→A∇2Ψ=∇∙∇Ψ∇(→A∙→B)=(→A∙∇)→B+(→B∙∇)→A+→A×(∇×→B)+→B×(∇×→A)∇∙(→A×→B)=→B∙(∇×→A)−→A∙(∇×→B)∇×(→A×→B)=→A(∇∙→B)−→B(∇∙→A)+(→B∙∇)→A−(→A∙∇)→B
Cartesian Coordinates (x,y,z):
∇Ψ=ˆx∂Ψ∂x+ˆy∂Ψ∂y+ˆz∂Ψ∂z∇∙→A=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z∇×→A=ˆx(∂Az∂y−∂Ay∂z)+ˆy(∂Ax∂z−∂Az∂x)+ˆz(∂Ay∂x−∂Ax∂y)∇2Ψ=∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2
Cylindrical coordinates (r,φ,z):
∇Ψ=ˆρ∂Ψ∂r+ˆϕ1r∂Ψ∂y+ˆz∂Ψ∂z∇∙→A=1r∂(rAr)∂r+1r∂Aϕ∂ϕ+∂Az∂z∇×→A=ˆr(1r∂Az∂ϕ−∂Aϕ∂z)+ˆϕ(∂Ar∂z−∂Az∂r)+ˆz1r(∂(rAϕ)∂r−∂Ar∂ϕ)=1rdet|ˆr/∂r∂/∂ϕ∂(∂z∣ArrAϕAz|∇2Ψ=1r∂∂r(r∂Ψ∂r)+1r2∂2Ψ∂ϕ2+∂2Ψ∂z2
Spherical coordinates (r,θ,φ):
∇Ψ=ˆr∂Ψ∂r+ˆθ1r∂Ψ∂θ+ˆϕ1rsinθ∂Ψ∂ϕ∇∙→A=1r2∂(r2Ar)∂r+1rsinθ∂(sinθAθ)∂θ+1rsinθ∂Aϕ∂ϕ∇×→A=ˆr1rsinθ(∂(rsinθAϕ)∂θ−∂Aθ∂ϕ)+ˆθ(1rsinθ∂Ar∂ϕ−1r∂(rAϕ)∂r)+ˆϕ1r(∂(rAθ)∂r−∂Ar∂θ)=1r2sinθdet|ˆrrˆθrsinθˆϕ∂/∂r∂/∂θ∂/∂ϕArrAθrsinθAϕ|∇2Ψ=1r2∂∂r(r2∂Ψ∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂Ψ∂θ)+1r2sin2θ∂2Ψ∂ϕ2
Gauss’ Divergence Theorem:
∫V∇∙→Gdv=∮A→G∙ˆnda
Stokes’ Theorem:
∫A(∇×→G)∙ˆn da=∮C→G∙d→ℓ
Fourier Transforms for pulse signals h(t):
H_(f)=∫∞−∞h(t)e−j2πtdth(t)=∫∞−∞H_(f)e+j2πftdf
